普蘭塔－－生态学与生物多样性论坛

[Ying Q. Liang]

按：这是白捷博士在2001年发表在内蒙古大学学报上的有关MDSM模型在股票市场上应用的另一篇文章，供参考、讨论。


多维球面模型及其在股市[白捷090922加注：基金市场]分析中的应用
－金 融 数 学 的 新 思 考
内 蒙 古 大 学 学 报，2001（2）

白.图格吉扎布 郭.额尔敦图
内蒙古大学经济与社会发展研究中心，呼和浩特， 010021，jaybai@mdsm.org（新的电子信箱：jay@mdsm.us）；
MDSM Research， 615 JoAnne St.， Fort Collins， CO 80524， USA)

摘要
多维球面模型是从资源监测发展起来的，基于向量的多元分析方法。向量是既有量值，又有方向的变量。多维球面模型把传统的向量分析从三维扩展到任意多维，可以同时处理任意多个变量。多维球面模型定义了向量除法，可以处理指数增长，因此特别适用于生物、金融、信息、经济等领域的变量。应用于基金市场时，模型以基金为坐标轴建立多维基金空间，用多元向量表示基金市场：以向量长度做指数表示市场的量值，以向量的方向表示市场状态；并用后、前余弦的商表示市场的动态，称多维即时趋势；进而根据趋势值将基金排序，根据基金的序位决定售购。在7个月(1998.6.19-1999.1.29)的投资实验中， 多维球面模型指导的个人退休基金的增率是25.82%。这个增率不仅超过了20个 基金市场的平均增率(2.64%)， 而且超过了市场中最好的基金的增率(18.98%)。目前，尚不能用传统的风险或投机的概念来解释MDSM的高增率。多维球面模型假定变量无关，所以它的应用可以被扩展到任意多支基金。

关键词 多维空间，多元向量，指数增长，向量分析，超球面模型，多维即时趋势， 多元分析， 多变量时间系列。
中图分类号：Q948.151

作 者 简 介： 白.图格吉扎布（1945～）， 男（蒙古族），吉林省郭前旗人。美国科罗拉多州立大学博士，待分配归国留学生，内蒙古大学经济与社会发展研究中心副研究员，‘超球面模型研究’驻呼代表。
郭. 额尔敦图（1945～），女（蒙古族），中国内蒙古喀喇沁旗生人。美国科罗拉多州‘超球面模型研究’总裁。

1 前言
多维球面模型(Multi-Dimensional Sphere Model, MDSM) 又称超球面模型，是从资源监测发展起来的新的多元分析方法。多维球面模型以多维空间 (Multidimensional Space, m-space)为基础，使用多元向量 (Multi-component Vector, m-向量)的夹角来表示分析对象之间的关系。本文所指的多维空间，m-空间，是线性空间的扩展，是定义了向量乘法和向量除法[1]的空间。我们用 m-空间表示，以便与线性空间，n-空间，区别。多维球面模型是从对角矩阵衍生出来的数学工具[2]。 从本质上说，多维球面模型是扩展了的向量分析 (Vector Analysis)。 根据Grolier百科全书1999年光盘版，‘向量分析’是数学的一分支，从属于分析 (Analysis)。 而分析与统计、几何、代数、微积分等并列，从属于数学 (见图一)。据美利坚百科全书， Encyclopedia Americana，1999网络版，向量分析最初是由 Stevin(1548-1620)开创，并最后由Gibbs （1839－1903） 归纳综合，奠定基础。 经典的向量分析一般被限于三维[3]。 Gibbs生前曾经设想，他的向量分析可以被扩展到任意多维[4]，但由于当时生产力水平的局限，他的这一想法没有得到推广和发展。近年来，由于资源管理、环境科学的发展，人 们对植被分类问题、系统内部资源分配问题、和多元系统的动态监测问题的研究，促进并扩展了传统的向量分析和多维空间的研究，产生了多维球面模型[5]。多维球面模型把传统的向量分析从三维空间扩展到任意多维空间，可以同时处理任意多个变量，大大地扩大了向量分析的应用范围。经典的向量分析中，向量的方向基本上被忽略，或者说没有独立的特定的意义，而仅是用来进行量值运算，如计算平行四边形的面积，对角线的长度，等。甚至向量的定义，也往往不是很确切的，向量的一个重要特性，方向往往被抹煞了。例如，有的数学教科书定义向量为‘N元数组n-tuples [6]’， 而另外一些书，特别是计算机方面的书，却定义向量为‘一维数组, one-dimensional array [7]’。在本文中，我们取Grolier百科全书的定义： “向量是不但有‘量值’(Magnitude)，而且有‘方向’(Direction)的变量。“A vector, in mathematics, is a quantity stating both a magnitude and a direction." 或美利坚百科全书的说法：”Vector Analysis, a branch of mathematics that deals with quantities having both magnitude and direction. Such quantities are called vectors."。 与经典的向量分析侧重于量值比较，MDSM更侧重于角度。在做系统的动态分析时，MDSM认为系统的状态向量 (State Vector) 的方向携带着系统组成的重要信息[5]，因而人们可以通过状态向量在多维空间的指向的变化来感知和度量系统组成的变化。经典的向量分析没有定义除法，仅适用于线性空间 (Linear Space, n-space)。而MDSM定义了向量除法[1]，可以处理指数增长（又称几何增长），因此特别适用于生物、金融、信息、经济等领域的有自我复制(Replicate)[8]功能的变量。

多维球面模型利用向量除法推导出了多元指数方程 (Multivariate Exponential Equation)[9]。方程描述了初始值向量Y(i,0)、即时趋势向量T(i,0)、时间k、和终值向量 Y(i,k)之间的关系， 是我们认识多维指数增长规律，进而监测、指导国民经济可持续发展的有潜力的工具。
Y(i,k) =
[b*Y(i,0) *T(i,0) ^k + a*D(i,k)]/(a+b) [1.0]
其中， a 和 b 分别是观察值, D(i,k) , 和预报值, Y(i,0) *T(i,0) ^k, 的权; Y(i,0)、T(i,0)、Y(i,k)，和 D(i,k) 是m-向量，用黑体表示，i=1,2,3,..m。 时间下标0 和k分别表示初始和终止时刻。向量乘法，向量乘幂的定义见[1]。

多维指数方程的推导过程大体上可以分为三个步骤，如图二所示。

1.1 在指数增长的通式上增加一个下标 i，表示变量，从而使公式的适用范围从一维扩展到多维;
1.2 用经验增率T(i,k)代替内禀增率(Intrinsic Rate)和常数e的组合，er，使这个核心参数可以从已知的数据中产生，并命名为多维即时趋势(Multivariate Instantaneous Trend, MIT，T);
1.3 用卡门滤波(Kalman Filter，现作卡尔曼滤波)连接历史与现实。

本文不讨论多维指数方程的展开及其应用，而主要讨论利用多维指数方程的核心参数‘多维即时趋势’T(i,k)进行投资指导的原理，并报告一个投资管理实验。MDSM是基于m-空间和m-向量分析的新的多元分析工具，在分析-综合多元数据方面有很大的潜力和广泛的应用。它曾经被应用于植被分类[10]、土地条件趋势分析[5]、植被演替趋势分析 [1][11]、反随机检验[12]、和股票排序[9],等。目前，正在美国农业部的农牧场模型（GPFARM）中被用来作‘反应检验’ （Response Analysis）。当然，最令人瞩目、最引人兴趣的还属下面将要报告的基金投资实验。如上所述，MDSM原本是为资源监测研制的，处理多变量时间系列的数学工具，而我们的实验表明，它也可以被应用于证券市场。由于资本有自我复制功能，利息可以产生利息（相当于细胞分裂），证券市场可以作为多维指数增长时间系列来处理。 在广义上，证券市场宏观管理的问题是个资源分配的问题。它可以被归纳为：如何善用市场机制，吸引并‘优化配置’民间闲散资金给上市企业，使经营好的企业多得，经营不好的企业少得或不得，Competitive Resource Management 。由于证券市场的数据较植被数据更精确、变量多、历史长、数据更新周期短、出结果快且容易验证，成本低，实验结果统一用货币单位‘元’来表示，一目了然，更容易为普通读者所接受。因此，自 1995年MDSM诞生以来，我们一直在使用证券市场的数据来检验m-空间理论，完善超球面模型。 自1998年， 进一步用个人退休基金（Individual Retirement Account，IRA）实际投资。因个人退休基金已经有帐户和资金，而且没有手续费，简化了程序。现将投资实验的原理和结果报告如下。

2 多维球面模型应用于证券（金融）市场监测的基本原理。
多维球面模型原本是为多元分析设计的，它可以同时处理多个证券，但是为了更好地说明问题，首先让我们从最简单的例子， 二个证券开始讨论。假定，我们有两个证券， 分别用X和Y来表示，并用直角坐标系XOY来表示这2个证券所组成的市场。证券X和证券Y分别是两个坐标轴， 原点是O，单位是元。我们并假设，实验开始时的价格为：X证券3元一股，Y证券4元一股。 MDSM用二维空间的点 A(0)＝(3, 4) 来表示这个证券市场的初始状态， (连接空间的点A和原点O得到向量OA)向量OA(0)称市场在时间0时的状态向量。

这里需要说明的是，在金融科学中，股票与基金是两个不同的概念，分属于不同的投资工具，有不同的性质和操作规律。但在本文的讨论中，我们把基金、股票统统作为证券变量，或系统的分量，而把股市，基金市场作为多变量系统，来研究讨论系统和分量之间的关系。在这个意义上，本文把股票和基金等同看待，统称证券，而把股市和基金市场等同看待，统称市场。

下面，我们分三种情况，展开讨论。
2.1.1 第一种情况，我们假设每支证券各涨1元，增量X=增量Y=1。市场状态向量的端点从 A(0)＝(3, 4) 运动到 A(1)＝(4, 5)。
我们的问题是：两支证券中，哪支证券好，哪支证券涨势高？
答案是：如果当初我们向两支证券分别投入12元，买得X证券4股，买得Y证券3股，由于证券涨价，证券X的价值从12元增值到16元，Y从12元增到15元，所以X的涨势高，记为： T(x)>T(y)。 T表示趋势(Trend)，是多维即时趋势MIT的简缩。关于趋势值和增率之间的关系， 趋势值的定义式和计算式之间的关系，请参阅下文。

2.1.2 第二种情况，我们假设每支证券各跌1元，增量 X=增量Y=(-1)，代表市场的点由 A(0)＝(3,4) 运动到A(2)＝(2,3) 。同样的问题，哪支证券好，哪支证券涨势高？
答案是：根据同样的计算，X证券从12元跌到8元，Y证券从12元跌到9元。
所以，Y证券跌势小，或Y证券涨势高，用T(x)<T(y) 表示。

2.1.3 第三种情况，我们假设每支证券价格各翻一番，市场从A(0)＝(3,4)运动到 A(3)＝(6,。 问，哪支证券涨势高？
答案是：12元投资双双增值到24元，两支证券涨势相等，用T(x)=T(y) 表示。

这个数学小游戏告诉我们什么呢？
当我们用直角坐标系XOY中的一个点A表示二元系统的状态时，连接并延长OA，射线OA把XOY平面分成三个区域：扇形YOA、射线OA、和扇形AOX。代表市场状态的点在空间的运动可以被分解为‘径向运动’和‘横(弦)向运动’。如果代表市场状态的点A沿射线OA运动，则向量OA的长度延伸或压缩，但向量所代表的系统状态、系统组成却没有变化。好比，我们用‘元’表示证券价格，或分别用‘角’，‘分’表示证券价格，虽然相应的量被扩大了10倍、100倍，但不影响市场的状态。这是MDSM的基本性质、特点。在 MDSM分析 中，nA=（~）A（详见讨论）。

如果表示市场状态的点进入AOX区域，向量OA朝X轴方向偏转，则向量所代表的证券市场有变化，而且X的趋势值大于Y的趋势值。反之，如果OA向Y轴偏转，则Y的趋势值大于X的趋势值。如图三所示。总结以上的讨论，我们可以看到证券的趋势值和证券的增量(delta)无直接关系，而与增率(%)和初始值有关系。也就是说，
2.2.1）证券是指数增长，Y(k)=Y(0)*Lamda^k;
而非线性增长, Y(k)=Y(0)+Delta*k；
2.2.2）市场的结构变化可用市场状态向量在空间的偏转来表示。

以上结论可以推广到m-空间。在m-空间中，多元向量的方向可以用向量的余弦来表示。而向量的余弦，可以通过向量除以向量长度（标准化）来取得；也即，从多维空间的点向单位超球面投影来取得。这便是‘超球面模型’名称的由来。证券市场的变化，表现为代表市场的点在多维证券空间的运动，这种运动可以被分解为互相垂直的两种运动：径向运动和偏转运动。市场状态向量在多维空间的偏转，表现为它的投影点在超球面上的位移；超球面上的点的运动，反映为超球面上的点在m个坐标轴上的投影的变化，也就是代表股市的状态向量和m个坐标轴夹角余弦值的变化。我们可以把上面的描述概括为，系统的组成比例的变化，表现为系统状态向量在多维空间的偏转；而向量在多维空间的偏转可以用它夹角余弦值的变化来监测，来度量。MDSM定义状态向量后、前余弦值的商(注意，是商，不是差)为多维即时趋势向量[5]，表示证券市场在给定时间的运动趋势；而用它的分量，趋势值，来描述相应证券的变化趋势。

这样我们就清楚了，用MDSM进行证券市场分析的基本步骤如下:
2.3.1) 建立多维证券空间，m-空间；
2.3.2) 用多维证券空间中的点，m-向量表示市场状态；
2.3.3)用向量长度作指数，定名为商高指数，简称SGI[2]，表示市场的量值；
2.3.4)用方向(余弦)表示市场的结构状态，证券价格在市场结构中的份额是相对稳定的；
2.3.5)定义后前余弦的商为多维即时趋势MIT 表示市场状态的变化趋势；
2.3.6)以趋势值排序证券；
2.3.7)根据序位决定售购。

根据定义式，趋势值是时刻k的余弦值除以时刻k-1的余弦值：
T(i,k)=[Y(i,k) /|Y(k)|]/[ Y(i,k-1) /|Y(k-1) |]， i=1,2,3,..m [2.4]
其中， T(i,k)是分量 i 在时刻 k 的趋势值，Y(i,k) 是分量 i 在时刻 k 的值，|Y(k) | 是时刻 k 的向量长度。
移项后[9]，得到趋势值的计算式：
T(i,k)=[Y(i,k) /Y(i,k-1) ]/[|Y(k)|/|Y(k-1)|]， i=1,2,3,..m
＝证券率(i,k) / 商高指数率(k) [2.5]
趋势值的计算式表示，证券的趋势值和证券的变化成正比，而和市场的变化成反比。
根据计算式，设计 Excell 算表如表一所示（详见下节，实验报告）。

3. 实验报告
自1998年6月19日到1999年1月29日我们随机选取一个证券公司（Liberty)的20个公共基金，建立了由这20个基金组成的基金市场(20个基金的英文代码见表二第1列，代码和基金名称的对照，请参考表一)。超球面模型以20个基金为坐标轴建立20维空间来代表这个基金市场。每天的市场状况，用20个基金当天的收盘价（Net Asset Value, NAV）来表示。

表二第2列下部的20个数字表示1998年6月19日20个基金的收盘价格，20个数字组成了当天的市场状态。表二第3列的数字（斜体）是对照组（平均随机回收，Average Random Investment)，平均投资8000美元于20支基金。第4列数字是每400美元所买的相应股数。比如，98年6月19日，基金CFGAX，每股19.51美元，400美元买20.50股。投资实验进行了七个月，于1999 年元月29日实验结束。1999 年元月29日的基金价格列在表二第6列。第7列20个数字（斜体）表示对照组1999年元月29日的基金的价值，是第4列数字和第6列数字的乘积。比如，第一行CFGAX的有关数据所表明的信息是：七个月前对照组买了CFGAS基金20.50股，元月29日基金价格涨到了20.56美元一股，所以当初投资400美元的基金，元月29日价值421.53美元。依此类推，可以得到对照组99年元月29日所有20个基金的价值(第7列的20个斜体数字)，及其总和(在20个数字上面)。总和是8,210.94美元，是初始的8,000.00元的102.64%。其中，第7列的20个数字中的最大值是475.93美元， 是初始值400.00元的118.98%

与此同时，MDSM管理的个人退休基金（IRA）投资8,000美元(去掉手续费,实际投资7,960.79元)，根据趋势值购买了4个基金(CFGAX、CFSAX、COLIX、和CUSGX)，分别投资＄1,997.17、 $1,983.22、 ＄1,997.18、和$1,983.22。见第5列的数字（黑体）。 在以后的七个月里，根据基金的即时趋势值(MIT)进行交易，调整。交易的原则是用趋势值大的基金代替趋势值小的基金，或用排名榜上部的基金取代下部的基金，时刻保持我们持有的基金的半数以上处于排名榜上部。交易记录见表三 。

表三汇总了27次交易的基本信息。表三的第1列是交易的时间记录，分别是月、日、时、分。比如，820136027代表提出交易的时刻是8月20日13时60分，编号（证券公司经纪人编号）27的交易记录。第2列是卖出的基金代码，如COLIX；第3列是卖出的股数，如：308.274股。第4列是当日的收盘价，如＄6.49。第6列是买进的基金代码。第7列是买进价，第8列是买进股数。第7第8列的分量的乘积应当等于第3第4列相应分量的乘积，表示买卖平衡，在整个实验过程中，既没有资金流入，也没有资金流出。在基金售出后，把售出价和当初的购入价相比，增、跌、持平分别用正、负、等号表示，列在增损栏，第5列里。

综上所述，第一行数据的交易信息是：8月20日卖COLIX308.274股，每股＄6.49，用这笔资金买进CUTLX 102.653股，每股＄19.49。由于8月20日的卖价（＄6.49）低于当初6月19日的买价(＄6.53)，这笔交易赔了，用负号表示 。

依此类推，经过27次交易，到1999年元月29日，MDSM帐户分别拥有：CFSAX、COLIX、SRSAX、和STMAX基金，所持股数分别是：211.841、401.053、165.621、和155.644股。按1999年元月29日的价格(参见表二第6列数字)，它们的价值列在表二第9列（黑体数字），分别为： $2,355.08、 $2,634.92、$2,636.69、和$2,389.13，总计10,016.42美元，是98年6月19日初始投资的125.82%.

需要说明的是，按证券公司有关规定，对于基金，无论什么时间提出交易申请，证券公司一律以当天的收盘价(NAV)进行交易。如交易申请的提出时刻晚于纽约时间下午4时， 则以下一个交易日的收盘价交易。也就是说，我们并不能根据网络传来的市场即时价格进行交易（而且事实上，网络里只有股票Stocks的即时价格，而没有基金Funds的即时价格），而是以‘未来的收盘价格进行交易’。如果MDSM管理的投资能够增值，则MDSM必须要有监测、预报市场的功能。而这正是我们的实验所要验证的。还有一点需要说明，在实际操作中，MDSM所管理的资金，因为是退休基金，不能现兑，必须一直留在市场内，无论是熊市，还是牛市；所以，MDSM管理的基金增值，靠的不是‘市场上涨时进场，市场下跌时撤资’的投机行为。特别需要指出的是，在我们的实验中，MDSM管理的基金甚至超过了市场中最好的基金。这说明，虽然市场行情对实验结果有影响，但实验结果并不受市场的局限。MDSM管理的基金的高回收，不是靠市场在实验期间的综合状态好（实际上，市场的综合状态并不十分好，仅2％），而是靠市场内各基金此起彼伏的动态变化。因此，我们有理由设想，如果能引入更多的基金，方差更大的相对变化，也许能带来更高的回报。

MDSM如何监测预报基金市场的动态？
表一根据99年元月8日到元月29日，最后15个交易日的数据说明以基金为单位进行周趋势分析的机制。十五个交易日的数据按时间顺序可以被分为三周：上上周，上周和本周。然后，MDSM 计算每周的平均价格。求平均值的过程，用MDSM的术语，被称为中心化[6]。在多维空间中，用一个m-形心向量代 表n个m-向量。 在我们的投资实验中m等于20，20个基金，n等于5，求5天平均值。20个基金的三周平均值形成三个20-形心向量Centroid Vector。每个分量的3个值所形成的曲线，表示相应基金过去三周的变化。比如，根据CFGAX的15天数据，取得三个周的平均值，分别是 ＄20.22， $20.19元，和＄20.25。过这三点，可以画一条曲线。根据曲线的两端点， 曲线可以是上升的、下降的、或水平的三种状态；根据中点，曲线可以是凸的、凹的、或平直的三种形状。三种状态乘三种形状是9种曲线，基本可以描述该基金过去15天的运动趋势。以此类推，人们可以取得每个基金和商高指数的三个周平均值，分别画出周趋势曲线，再根据周趋势曲线来指导日投资。但是，由于我们人类肉眼的局限，一般很难区别曲线的细微差别，尤其是基金的数目很多时，所以MDSM计算即时趋势值，来代替画曲线。一般计算即时趋势值我们可以精确到小数点后4位。然后根据趋势值的大小来排列基金，如上所述。

表一的下半部就是根据1999.1.8.-1999.1.29三周的数据，用第7列'本周'的趋势值排序的结果，称基金排名榜[2]。趋势值大的基金排在榜的上面，小的排在下面。如果投资者能经常保持自己所持有的基金的半数以上排在榜的上部，便可以保证总回收高于市场平均回收。 如果某个基金跌落到榜的下部，则应随时调换成榜上半部的基金。

由于惯性的作用，我们用周趋势分析指导日投资，成功的机率较高。当然，突发事件是有的，但就总体来看，惯性是主导的。如果再参照表一第8列二阶趋势值(趋势值的趋势值，MITMIT，表明趋势曲线的拐点)，更可以提高趋势分析成功的机率。

退休金一般每年投资一次。由于新的财务年度开始，99年元月25日星期一有新的退休金投入，第一阶段的投资实验在元月29日星期五告一段落。自99年元月29日起，基金数目扩大到28支，实验投资额追加到2万美元，实验继续进行。实验结果，每周六在MDSM的网址：http://www.mdsm.org/in_action上公布。到2000年元月28日第二期实验结束时，MDSM十二个月的增率是31.99％，而28个基金的平均增率是9.82％（报告另发）[白捷（090924）注：第二期实验结束后，实验者即中断实验回国，没有写出实验报告]。

4. 结果与讨论：
使用数学工具模拟人的经验，用机械的或技术的方法监测预报市场动态，建立买卖证券的机械方法(Technical trading rules)，一直是个引人兴趣，很具挑战性的课题。我们的实验表明，证券的运动规律可能是可以被认识的。通过认真观察，我们会发现，任何证券价格曲线的后面，都隐含着一条趋势线，而证券趋势线后面又有市场的大势在起作用。多维球面模型管理的基金实验表明，证券价格的波动可以被分解为4个部分：市场的总体波动， 个别证券趋势值波动，个别证券日波动，和随机误差：
价格(i,k)＝市场大势 (k)＋证券趋势 (i,k)＋证券日波动 (i,k)＋随机误差 [4.1]
因此有
趋势值(i,k)＋随机误差＝价格 (i,k)－证券日波动 (i,k)－市场大势 (k) [4.2]
多维球面模型使用中心化（Centralization）从证券价格波动中滤掉证券的日波动，用标准化(Standardization)滤去市场的波动，检出趋势，并用趋势值将证券进行横向比较。在市场上涨时，MDSM挑选增率高，相应风险也高的证券。例如前面的情况2.1.1，从 ＋33％ 和＋25％中选择33％；而在市场下跌时，挑选跌率低，相应风险也低的证券，如前面的情况2.1.2中，从－33％和－25％中选择－25％。在总风险不甚增加，资金不离开市场的情况下，取得高回报。多维球面模型从m*k的股价×时间矩阵中提取出m*1的趋势向量，使m个证券可以在一维里排序。在美国证券市场上，m=9000＋。由于变量独立的前提假定，MDSM可以将这9000支证券同时进行横向比较，即时排队，这样便为投资者提供了更多的选择， 并大大地提高了选择的效率 。

多维球面模型的重要前提是变量独立。一般认为，在低维空间里无解的证券市场监测问题，在高维空间里可能有解。而建立多变量空间的前提条件是变量之间独立。变量独立，坐标轴才能互相垂直，我们以上的讨论才能展开。MDSM用多元向量来表示市场状态的前提是变量之间无关，而忽略变量之间的相互作用。这样虽然要丢失部分信息，引起分析误差，但我们的实验说明，这毕竟提供了一个解决问题的办法。而且，在现实的证券市场中，虽然各个证券互相影响、互相制约，但由于它们之间根本的关系是互相竞争，每个证券都保持自己独特的运动形式、运动规律，所以，直到能够在m-空间里定量地确定证券之间的关系，而且表示这种关系的值超过某个预定的阈值前（一般地，MDSM把这个阈值定为0.7， 是45度角的余弦值），证券之间无关的假定是应该成立的。这里，‘在多维空间’是关键的条件状语。据说有大量的文献支持证券之间相关的论点。 我们以为，证券之间的相关，部分可能是从市场传递过来的。从4.1式我们可以看到，所有的证券价格都和市场大势相关。那么，如果不排除市场的因素（不标准化数据，不向超球面投影），证券相关的结论也许是不正确的。特别需要指出的是，数学上有条定理：n维空间中最多只能有n支线性无关的向量[6]。也就是说，如果在二维空间中研究3个以上的变量，则结论必定是相关，而不论它们是否真正相关。所以，对于变量独立的问题，我们只接受在m-空间里的研究结果。如果能够在m-空间里证明两个变量相关，则我们可以归并这两个变量， 去掉一个坐标轴，然后，继续在m-1维空间里研究系统和变量的动态[1]。MDSM假定变量之间无关，只是作为我们研究讨论的出发点，而不是结论。好比，‘无罪推定’比‘有罪推定’更科学，但假定无罪，并不等于肯定无罪。从另一方面来说，由于向量合成分解的平行四边形法则，任意向量可以被分解为矩形（特殊的平行四边形）。也即，任意向量可以被分解为两个互相垂直的向量。加之， m-空间对坐标轴的数目没有限制，这样，扩展的向量分析就为建立 m-维证券空间提供了依据：即使变量之间有相关关系， 只要相关系数没有达到100％，人们就可以利用其不相关的部分， 建立（增添）一个坐标轴。

除变量数目多外，股市问题难解的另一个原因可能是，股市变化的因果关系不详，或不确切、不稳定。MDSM使用的是多变量时间系列方法。它假定变量之间无关，把股市变化的原因归之于时间，把趋势值向量T(i,k)、市场状态向量Y(i,k)定义为时间k的函数，利用惯性 （Inertia ）原理求解[13]。物理学常识告诉我 们，一个系统，当具有足够的质量时，它便具有惯性。物理学上的惯性在数学上相应的提法是‘线性增长在邻域’ 或‘ 算术增长在邻域’ (Linearity in a neighborhood [14]。MDSM把惯性原理推广到了生物， 金融等领域， 相应的数学描述则被扩展为‘指数增长在邻域’或‘几何增长在邻域’。打个比喻，对于变量的两个取值：3，4，大数定律认为真值是3.5；而惯性认为下一个值是5（算术增长），或5.3（几何增长）。在技术层面上，在实际操作中，惯性的表现是，趋势值的期望值等于一，基金在观察期间倾向于保持原态势不变。

多维球面模型最大的特点是强调角度。在 MDSM 分析中，nA =（~）A，其中，A是向量的方向， n是任意实数。它的意思是：角的两边可以任意扩大、延长若干倍，而角度保持不变。也即俗话所说的，‘放大镜不能放大角度’。这个命题，nA=（~）A，粗看似乎和我们已知的知识不很和谐，但是，这个基本原理却是一切几何制图的基础（对应内角相等的两个三角形相似），因而也是我们认识客观世界的基础。比如，我们都同意，8号铅字的MDSM和12号铅字的 MDSM是同一回事。不因为字体的变化而改变它所携带的信息。

多维球面模型在揭示证券市场的运动规律，提出一个比较科学的技术分析方法的同时，更重要的是，它为证券监管部门提供了一个中肯全面的指数和一条监管股市的新思路。使用MDSM，证券监管部门能更好地了解掌握股市的行情和动态。根据4.2式，分析个股趋势的必要条件之一是滤去市场大势。而滤去市场大势的重任，似乎非商高指数莫属。多维球面模型定义的‘商高指数’[9]是向量长度，是所有分量的平方和的算术根，是几何和，是无偏估计。相对应的，虽然道琼指数的历史作用无可否认，但它以偏概全的事实也不容回避。道琼指数是经过人为精心挑选的少数股票的综合，数学上是有偏估计，却往往被错误地宣传为整个股市的指数，被理解为股市的上限。道琼指数下跌，当然表明股市有下跌，但由于它的偏倚作用，以偏概全的结果，道琼的下跌往往被理解为整个股市的，全体股票的下跌。加上媒体的炒作，便可能引发股民的抛售，造成股市的暴泄。相比之下，MDSM用‘商高指数’全面中肯地反映股市的动态。它的涨跌仅反映市场的平均状态。无论商高指数上涨或下跌，总有约一半的证券相对上涨，而另有一半证券相对下跌。投资者总能在风险和回报当中找到平衡点，而不一定要从市场撤出资金。比如，当商高指数下跌时，投资者仍旧可以清醒地将资金转移到跌率较小的基金避跌，如2.1.2。从而，避免了恐慌性的、滚雪球式的大抛售。另一方面，MDSM可以用向量方向的变化来表示资金在股市内部的流动。比如，向量A＝(3, 4)和向量B＝(4, 3)，虽然向量长度都是5，但向量的空间指向不同。当市场状态从A＝(3, 4) 变化到B＝(4, 3)时， 股市监管部门几乎可以定量地‘看到’ 有资金从 Y 向 X流动。由于，多维球面模型既能提供科学的股市分析手段，加深人们对股市的认识，提高股民的投资信心，又能够增加监管部门的监管力度，这样便为规范化，进而繁荣我们的金融市场，化解金融危机提供了一条可能的新途径。

如果说，当传统的向量分析被局限在三维空间，线性空间的时候，依然在工程力学，量子力学方面发挥了作用，那么，扩展了的向量分析在简单系统的分类，系统动态分析方面 （包括，但不局限于植被，证券市场）必然会起巨大的作用。它的应用前景目前是不可估量的。特别是，根据M. Crowe的研究，在人类历史上，人们对数的认识有过几次扩展。 数集 (Set) 的每一次扩展，无论是从自然数(Naturals )到整数(Integers) 的扩展，从整数到有理数 (Rationals)的扩展，或者从有理数到实数(Reals)，实数到复数(Complex Number)的扩展都给科学的发展，人类的认识带来了巨大的飞跃。那么由标量(Scalars)到向量的充分扩展，由数轴 (Real Line)－复平面到多维空间(m-Space)的扩展，也必将为我们人类对环境（广义的环境）的认识带来巨大的突破。当然，MDSM现在仍然很幼稚。它的有关运算规则、前提假定、理论都是很简单的、最基本的，然而，正因为如此，它很可能是属于上游的， 基础的科学。它的许多不完善之处，不高级之处，正是有待人们继续认识，深入发掘的未知领域。我们希望本文的发表能够引起其它学科，如数学、金融、经济、计算机等领域的专家学者的兴趣，大家共同来研究，开发这个新的知识宝库。

谨以此文纪念前中国科学院院士，内蒙古大学生物系教授，作者的导师李博(1929－1998)先生。本文是李博、雍世鹏、刘钟龄等先生20年前给作者布置的课题：‘寻找一种简单易行并且有数学基础的植被分析方法’的延续和扩展。实验结果曾经在美国首都华盛顿召开的“21世纪的中国和可持续性发展研讨会”暨欧美同学会99年年会上报告。会后根据幻灯片整理，并经Weatherhead School of Management, Case Western Reserve University，梁兵教授审阅，复核了数据，提出修改意见。特此表示感谢。

参考文献
[1] Bai, T. J., T. Cottrell, D. Hao, T. Te, R.J. Brozka, 1997: MultiDimensional Sphere Model and Instantaneous Vegetation Trend Analysis. Ecological Modelling, 97-2.
[2] 图格吉扎布,1984：草场演替趋势的数字预测。中国农科院草原研究所(油印稿)。
[3] Davis, Harry F., Snider, A.D., 1979: Introduction to Vector Analysis. Allyn and Bacon, Inc., 4thEd.
[4] Crowe, Michael J., 1967: A History of Vector Analysis. University of Notre Dame Press.
[5]白图格吉扎布，郝敦元，特塔拉，1995：卡森堡植被演替趋势分析。李博主编，现代生 态学讲座。科学出版社，1995。
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[7] Atkinson, Lee and M. Atkinson, 1993, Using C/C++ Special Edition. Que Corporation.
[8] Vandermeer, John, 1981: Elementary Mathematical Ecology. John Wiley & Sons, Inc.
[9] 白图格吉扎布，1999：超球面模型应用于股票排序的探讨。内蒙古大学学报， 卷30，2。
[10] 图格吉扎布，1982：锡林河流域羊草草原数量分类的探讨。内蒙古大学。
[11] 白图格吉扎布，郝敦元，Tom Cottrell, 特塔拉，1996：多维超球面模型与植被演 替趋势分析。中国草原，1996，2。
[12] Bai, Andre, et.al., 1998: Fast Antirandom (FAR) Test Generation to Improve Code Coverage. Software Research Institute. SanFrancisco, CA, USA.
[13]何淼等，1995：板齿鼠种群中长期预测的时间序列模型。走向21世纪的中国生态学。 中国生态学会。
[14] D.A.Jameson, 1986: Environmental Monitoring and Adaptive Management. Colorado State University.
[15] Gauch, H. G.,1982: Multivariate Analysis in Community Ecology. Cambridge University Press.


A Report on Investment Decision-making using
Multi-Dimensional Sphere Model
T. Jay BAI & Eerduntu GUO
Center of Economics and Social Development, University of Inner Mongolia, Hohhot, 010021
MDSM Research, 615 Joanne St. Fort Collins, CO 80524, USA
Abstract: The MultiDimensional Sphere Model is a new multivariate data analysis method based on extended vector analysis derived from natural resource monitoring. A vector is a quantity stating both a magnitude and direction. MDSM extended the classic vector analysis from 3 dimension to multidimension, so it can handle more than three variables simultaneously. MDSM defined vector division, so it can manipulate the exponential growth. Thus, it is suitable for variables in sciences of biology, financing, information, and economics. When applied to mutual fund data, MDSM builds a multidimensional space with funds, expresses the market with a multicomponent vector. It expresses the quantity of the market with vector length, and expresses the state with direction. It uses the quotient of cosine values, present over previous, to express the changing trend of the funds, and trade them based on their trend values. In a seven-month test, an account directed by MDSM returned 25.82%, not only higher than the average of the 20 involved funds (2.64%), but also better than the best individual fund performance (18.98%).
Key words: MDSM, m-space, m-vectors, exponential growth, multivariate exponential equation, vector analysis, Trend, multivariate analysis, competitive resource management.

表一1 周趋势分析及排序。

基金代码，基金名称，上上周，上周，本周，MIT1，MIT2，MITMIT
SGI，商高指数，65.4567，65.3057，64.8697，0.9977，0.9933，0.9956
CFGAX，C US Stock，20.22，20.19，20.25，1.0009，1.0096，1.0087
CFSAX，C Federal Securities，11.03，11.08，11.10，1.0061，1.0093，1.0031
CGUAX，C Global Unilities，16.18，16.41，16.32，1.0166，1.0012，0.9849
CIFAX)，C Intl Fd for Growth， 9.81，9.81，9.81，1.0023，1.0067， 1.0044
CNTAX，Tiger，8.06，7.82，7.30，0.9725，0.9396，0.9661，
COEAX，C Global Equity，14.62，14.55，14.44，0.9974，0.9991， 1.0017
COLFX，C Fund，10.69，10.65，10.67，0.9986，1.0084，1.0099
COLGX，C Select Value，21.58，21.55，21.47，1.0010，1.0026，1.0016
COLHX，C Hi Yld Securities，6.77，6.76，6.79，1.0005，1.0115，1.0109
COLIX，C Income Fund，6.52，6.54，6.56，1.0054，1.0089，1.0035
CONAX，Internatl Horizons FD，12.39，12.35，12.22，0.9988，0.9961， 0.9974
COSIX，C Strategic Income，7.09，7.10，7.09，1.0032，1.0064， 1.0033
CSBAX，C Stragegic Balanced，15.56，15.51，15.48，0.9990，1.0045， 1.0056
CSMIX，C Small Cap Value，29.94，29.76，29.25，0.9963，0.9893， 0.9930
CTCAX，Tiger Cub， 5.91，5.72，5.51，0.9711，0.9694，0.9983
CUSGX，C US Government，6.73，6.74，6.76，1.0038，1.0094， 1.0056
CUTLX，C Unilities Fund，21.57，21.76，21.49，1.0111，0.9944， 0.9835
NGCAX，Greater China，10.47，9.82，9.34，0.9403，0.9577， 1.0186
SRSAX，Growth Stock，14.90，15.13，15.50，1.0182，1.0309， 1.0125
STMAX，TaxManaged Growth，15.15，14.95，15.06，0.9892，1.0143， 1.0253

表一2 基金排名榜
基金代码，基金名称，上上周，上周，本周，MIT1，MIT2，MITMIT
SGI，商高指数，65.4567，65.3057，64.8697，0.9977，0.9933， 0.9956
SRSAX，Growth Stock，14.90，15.13，15.50，1.0182，1.0309， 1.0125
STMAX，TaxManaged Growth，15.15，14.95，15.06，0.9892，1.0143，1.0253
COLHX，C Hi Yld Securities，6.77，6.76，6.79，1.0005，1.0115， 1.0109
CFGAX，C US Stock，20.22，20.19，20.25，1.0009，1.0096， 1.0087
CUSGX，C US Government，6.73，6.74，6.76，1.0038，1.0094， 1.0056
CFSAX，C Federal Securities，11.03，11.08，11.10，1.0061，1.0093， 1.0031
COLIX，C Income Fund，6.52，6.54，6.56，1.0054，1.0089，1.0035
COLFX，C Fund，10.69，10.65，10.67，0.9986，1.0084，1.0099
CIFAX，C Intl Fd for Growth，9.81，9.81，9.81，1.0023，1.0067， 1.0044
COSIX，C Strategic Income，7.09，7.10，7.09，1.0032，1.0064， 1.0033
CSBAX，C Stragegic Balanced，15.56，15.51，15.48，0.9990，1.0045，1.0056
COLGX，C Select Value，21.58，21.55，21.47，1.0010，1.0026， 1.0016
CGUAX，C Global Unilities，16.18，16.41，16.32，1.0166，1.0012，0.9849
COEAX，C Global Equity，14.62，14.55，14.44，0.9974，0.9991， 1.0017
CONAX，Internatl Horizons FD，12.39，12.35，12.22，0.9988， 0.9961， 0.9974
CUTLX，C Unilities Fund，21.57，21.76，21.49，1.0111，0.9944， 0.9835
CSMIX，C. Small Cap Value，29.94，29.76，29.25，0.9963，0.9893， 0.9930
CTCAX，Tiger Cub， 5.91，5.72，5.51，0.9711，0.9694，0.9983
NGCAX，Greater China，10.47，9.82，9.34，0.9403，0.9577， 1.0186
CNTAX，Tiger，8.06，7.82，7.30，0.9725，0.9396，0.9661

表二 MDSM指导的投资与平均随机回收的比较。

$1,805.48，98年6月19日，99年1月29日，股价（元/股），对照投资（元），对照股数，MDSM投资（元），股价（元/股），对照价值（元）， MDSM股，MDSM价值（元）
商高指数，65.375，---，---，---，66.136，---，---，---，增率，---， ---，---，---，---，102.64%，---，125.82%
总计($)，---，$8,000，---，$7,960.79，---，$8,210.94，---，$10,016.42
CFGAX，19.51，$400，20.50，$1,997.17，20.56，$421.53，---， ---
CFSAX，10.90，$400，36.70，$1,983.22，11.12，$408.07， 211.841，$2,355.68
CGUAX，15.17，$400，26.37，---，16.31，$430.06，---，---
CIFAX，9.25，$400，43.24，---，9.81，$424.22，---，---
CNTAX，6.44，$400，62.11，---，7.30，$453.42，---，---
COEAX，15.11，$400，26.47，---，14.57，$385.70，---，---
COLFX，10.77，$400，37.14，---，10.78，$400.37，---，---
COLGX，21.75，$400，18.39，---，21.65，$398.16，---，---
COLHX，7.25，$400，55.17，---，6.80，$375.17，---，---
COLIX，6.53，$400，61.35，$1,997.18，6.57，$402.45，401.053， $2,634.92
CONAX，13.42，$400，29.81，---，12.28，$366.02，---，---
COSIX，7.31，$400，54.72，---，7.11，$389.06，---，---
CSBAX，15.53，$400，25.76，---，15.57，$401.03，---，---
CSMIX，33.23，$400，12.04，---，29.29，$352.57，---，---
CTCAX，4.94，$400，80.97，---，5.51，$446.15，---，---
CUSGX，6.65，$400，60.15，$1,983.22，6.76，$406.62，---， ---
CUTLX，19.97，$400，20.03，---，21.50，$430.65，---，---
NGCAX，9.39，$400，42.6，---，9.37，$399.15，---，---
SRSAX，13.38，$400，29.90，---，15.92，$475.93，165.621， $2,636.69
STMAX，13.81，$400，28.96，---，15.35，$444.61， 155.644，$2,389.13

表三 MDSM指导的投资的交易记录汇总。


交易代码，基金代码，股数，股价，增损，基金代码，股数，股价
98619，$1,997.18，COLIX，305.845，6.53
98619，$1,997.17，CFGAX，102.367，19.51
98619，$1,983.22，CFSAX，181.947，10.90
98619，$1,983.22，CUSGX，298.229，6.65
820136027，COLIX，308.274，6.49，-CUTLX，102.653，19.49
821105179，CFSAX，183.234，10.96，+，CONAX，161.046，12.47
827181084，CFGAX，102.592，17.62，- ，CFSAX，163.442，11.06
901143579，CONAX，161.852，11.74，-，COLIX，293.685，6.47
902152958，CFSAX，163.442，11.05，- ，CSMIX，69.758，25.89
909144154，CUSGX，302.462，6.76，+，NGCAX，265.538，7.70
911145054，CSMIX，69.814，25.76，-，CFSAX，160.859，11.18
915144254，COLIX，293.685，6.50，+，COLGX，97.895，19.50
917145342，CFSAX，160.86，11.18，=，CNTAX，329.984，5.45
1001141846，COLGX，98.147 ，18.23，-，CTCAX，412.263，4.34
1007140520，NGCAX，266.272，8.21，+，CFSAX，192.607，11.35
1015142784，CUTLX，103.451，20.56，+，CONAX，182.728，11.64
1021144046，CFSAX，192.607，11.21，-，CSMIX，82.884，26.05
1023111084，CNTAX，330.297，7.13，+，COLFX，232.021，10.15
1027111411，CONAX，183.034，12.10，+，COLHX，343.899，6.44
1103143459，CTCAX，412.263，5.57，+，NGCAX，208.000，11.04
1105144452，COLHX，343.899，6.57，+，CNTAX，294.578，7.67
1110140774，NGCAX，207.998，10.43，-，CFGAX，111.720，19.03
1113140859，CSMIX，83.073，28.19，+，COLIX，360.281，6.50
1119150046，COLIX，360.282，6.50，=，SRSAX，173.855，13.47
1201155818，CNTAX，295.269，7.66，-，COEAX，154.070，14.68
1204，COLFX，232.02，10.9，+，CSMIX，86.404，29.27
1204，COEAX，154.07，14.73，+，COLGX，106.250，21.36
0115141608，CFGAX，116.19，20.22，+，CFSAX，211.841，11.09
0115141608，SRSAX，174.05，15.07，+，COLIX，401.053，6.54
0125， 有新资金注入
0126，CSMIX，86.404，29.5，+，SRSAX，165.621，15.39
0128153790，COLGX，109.42 ，21.55，+，STMAX，155.643，15.15





[白捷]

才注意到，由于格式的变化，落了三个附图。

从原稿中找出并转化成JPG文件附上并配以相关文字说明。

[白捷]

[白捷]

[白捷]

因为植被监测数据成本高、周期长、精度和公信力也不够，所以管理我自己的“个人退休帐户”一直是系统动态分析的重要应用实验。

自1986年六月开始实验。头七个月的增长，便超过了选定市场中的最佳基金。我们写出的报告刊登在了<内蒙古大学学报>，便是这篇文章。

六年（1998-2004）实验总结下来，我们的资金增殖超过了三个重要的指数：道琼斯(DIA)，那斯达克(QQQQ)和普尔(SPY)。

我不是做金融的，当初并没有意识到这个实验结果的意义。后来听到，再三有人说，能跑赢普尔500（SPY）在金融界是比较了不起的成就，很少有（少于10%）基金管理者能达到这个水平（参见《偶然与定数》http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?t=18025 ）。
而且，引起了市场监察部门的约谈。见本版“笑一笑”《评价一个模型或方法对炒股有无指导意义的难度》
http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?t=13466的附件，或
白捷《植被监测和趋势分析的数学工具（PPT，中英文征求意见稿）》
http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?t=16787 第二页附件，或[1]。

我的实验还在继续做。现在，我把八月份的报告附在这里，供有志的塔友参考（需要登陆才能看到( 临时删除20100102)）。

报告摘要如下
ACCOUNT SUMMARY
BEGINNING VALUE AS OF AUG FIRST$20，592.67
TRANSACTION COSTS, LOADS AND FEES -32.11
CHANGING IN INVESTMENT VALUE 2,336.60
ENDING VALUE AS OF AUG 31 $22,896.86

意译
8月1日：$20，592.67
8月31日：$22,896.86
月增量：2,336.60
...

难免有人不信：股市投资月增率百分之十？也太离谱了。
但如果注意到我仅有的两个HOLDINGS：UYG，UWM
再到网上查一下“UYG”和“UWW”七月31和八月31的价格，就该明白了。

[1]《趋势分析及其在生态股市中的应用》229页。

[白捷]

[白捷]

[白捷]

[白捷]

关于使用MDSM进行金融市场投资的实验，2009年个人退休金帐户管理的报告，已经独立建楼。见《年度报告》
http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?t=19467

方便大家讨论.